关于地球上某个地点的地理上的对跖点，请参见“对跖点”
两点P和P' （红色）是对映的，因为它们是直径PP'的端点，直径 PP ' 是轴a （紫色）穿过球心O （黑色）的一段。 P和P'是大圆g （绿色）的极点，其各点之间的距离相等（具有中心直角）。任何经过两极的大圆s （蓝色）都是次于g的。
在数学中，如果球面（或n 维球面，包括圆）上的两点是直径的端点，则这两点被称为对映点或直径相对点。直径是球面上两点之间通过球心的直线段。 [1]
给定球体上的任意一点，其对映点都是距离最远的唯一点，无论是内在测量（球体表面的大圆距离）还是外在测量（球体内部的弦距离）。球面上每个经过某一点的大圆也经过该点的对跖点，并且有无数个大圆经过一对对跖点（不同于任何非对跖点对的情况，它们都有一个唯一的大圆经过这两个点）。球面几何中的许多结果取决于选择非对跖点，如果允许对跖点，则结果会退化；例如，如果两个顶点是对跖点，则球面三角形会退化为未指定的月牙形。
与给定点相对的点称为其对跖点，源自希腊语ἀντίποδες （ antípodes ）意为“对立的脚”。[2]有时会去掉s ，这就形成antipode ，即逆构词法。
高等数学[编辑]
对跖点的概念可以推广到任意维度的球体：如果球体上的两点通过中心相对，那么它们就是对跖点。通过中心的每条线与球体相交于两个点，每条从中心发出的射线与球体相交于一个点，这两个点是对立的。
博尔苏克-乌拉姆定理是代数拓扑处理此类点对的结果。它表示任何连续函数
S
n
{\displaystyle S^{n}}
到
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
映射一些对映点
S
n
{\displaystyle S^{n}}
到同一点
R
n
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
这里，
S
n
{\displaystyle S^{n}}
表示
n
{\displaystyle n}
-dimensional球体和
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
是
n
{\displaystyle n}
-dimensional实坐标空间。
对跖点地图
A
:
S
n
→
S
n
{\displaystyle A:S^{n}\to S^{n}}
将球体上的每个点发送到其对跖点。如果点
n
{\displaystyle n}
-sphere以欧几里得坐标表示为球体中心的位移矢量
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)}
-space,则两个对映点由加法逆元表示
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
和
−
v
,
{\displaystyle -\mathbf {v} ,}
对映体图可以定义为
A
(
x
)
=
−
x
.
{\displaystyle A(\mathbf {x} )=-\mathbf {x} .}
当同倫恆等函數[3]
n
{\displaystyle n}
是奇数，当
n
{\displaystyle n}
是偶数。其度为
(
−
1
)
n
+
1
.
{\displaystyle (-1)^{n+1}.}
如果确定了对跖点（视为等价），则球面成为实射影空间的模型。
参见[编辑]
切割轨迹
参考[编辑]
^ Chisholm, Hugh (编). Antipodes. Encyclopædia Britannica 2 (第11版). London: Cambridge University Press: 133–34. 1911.
^ Antipodes, 2025-05-01 [2025-05-04] （英语）
^ V. Guillemin; A. Pollack. Differential topology. Prentice-Hall. 1974.
外部链接[编辑]
Hazewinkel, Michiel (编), Antipodes, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
antipodal. PlanetMath.